서론

임의의 해석 I에 대해,
(1) ‘Ds’가 I 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 I가 ‘s’에 할당하는 대상이 I가 ‘D’에 할당하는 집합에 속한다.
(2) ‘-Ds’가 I 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 I가 ‘s’에 할당하는 대상이 I가 ‘D’에 할당하는 집합에 속하지 않는다.
(3) ‘(∃x)Dx’가 I 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 I의 영역 속의 어떤 원소가 I가 ‘D’에 할당하는 집합에 속한다.
(4) ‘Ds → (∃x)Dx’가 I 하에서 참일 경우 오직 그 경우에만 I가 ‘s’에 할당하는 대상이 I가 ‘D’에 할당하는 집합에 속하지 않거나 I의 영역 속의 어떤 원소가 I가 ‘D’에 할당하는 집합에 속하거나 혹은 양쪽 모두이다.

이 장에서 우리의 과제는 한국어 문장을 형식언어 L로 번역하는 방법을 찾는 것이다.

형식언어로의 번역 관행 (P→Q ≡ -P∨Q를 생각!)

P이고 Q이다 / P이지만 Q이다 / 비록 P이지만 Q이다; P&Q
a와 b는 F이다; Fa&Fb
a는 F와 G이다; Fa&Ga
P이거나 Q이다; P∨Q
a나 b는 F이다; Fa∨Fb
a도 b도 F가 아니다 / a나 b는 F가 아니다; ¬Fa&¬Fb
a는 F도 G도 아니다 / a는 F나 G가 아니다; ¬Fa&¬Ga
만약 P이면 Q이다; P→Q
P일 때에만 Q이다; Q→P
모든 F는 G이다; (x)(Fx→Gx)
어떤 F는 G이다; (∃x)(Fx&Gx)
어떤 F도 G가 아니다; (x)(Fx→¬Gx) / ¬(∃x)(Fx&Gx)
어떤 F는 G가 아니다; (∃x)(Fx&¬Gx)
모든 F가 G인 것은 아니다; ¬(x)(Fx→Gx)
F인 것만 G이다; (x)(Gx→Fx)

참고: 동일성 기호를 논리상항으로 갖고 있는 형식언어 L1에서의 번역
F인 것이 단 하나 있다; (∃x)(Fx & (y)(Fy→y=x))
F인 것이 단 두 개 있다; (∃x)(∃y)(Fx & Fy & ¬x=y & (z)(Fz→(z=x ∨ z=y))

예시)

해석 I (논의세계: 양의 정수)
E: 모든 짝수의 집합
O: 모든 홀수의 집합
P: 모든 소수의 집합
L: 양의 정수 m, n에 대해 m<n일 때 성립하는 이항관계; 즉, ‘보다-작다’의 관계
I: 양의 정수들 간의 동일성의 이항관계
S: 양의 정수 m, n, p에 대해 m+n=p일 때 성립하는 삼항 관계
M: 양의 정수 m, n, p에 대해 m*n=p일 때 성립하는 삼항 관계
a1: 1, a2: 2, a3: 3, a4: 4, …

해석과 번역

뜻이 주어지면 지시체는 곧바로 고정된다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다. 해석이 L의 각 술어, 개체상항, 문장에 항상 지시체를 할당한다고 하더라도, 그것이 곧바로 뜻을 결정하지는 않는다.

연결사들과 양화사들의 번역

∨ : 양쪽 선언지가 다 참인 것이 불가능한 경우가 있음
→ : 전건이 거짓이거나 후건이 참이거나 혹은 양쪽 다일 경우에 조건문이 참이라고 하기 때문에, ‘만약 ~이면’은 사실상 거의 실질적 의미로 쓰이지 않는다. ex) Ea2 → Oa2 는 거짓이다.
– : 일상문장에서 ‘아니다’의 위치는 그것의 논리적 역할을 모호하게 한다.

연결사 혹은 양화사에 대응하는 어구가 자연언어 문장에 나타나지 않을 경우에도 연결사 혹은 양화사가 그 자연언어 문장을 기호화한 형식문장에 자주 나타난다.

자연언어는 명백히 진리함수적이지 않은 연결사들과 경계선 상에 있는 것으로 분류될 수밖에 없는 연결사들을 가지고 있다.
ex. ‘때문에’