L의 해석

L의 문장은 그것의 비논리상항들에 무슨 의미를 부여하든지 간에 참이 될 경우 타당하다고 한다. 다른 말로, 그 문장의 참임이 오직 그 논리적 틀의 의미론적 속성들에만 의존할 경우 타당하다고 한다.

해석은 φ에 나타나는 각각의 비논리상항에 지시체를 할당한다.
개체상항에 대해서는 개체를 할당한다.
1항 술어에 대해서는 개체들의 집합을 할당한다.
2항 술어에 대해서는 개체들의 2항 관계를 할당한다.
문장문자에 대해서는 진리치를 할당한다.

(1) 논의세계로서 공집합이 아닌 영역 D를 명시하는 것
(2) 각 개체상항에 D의 한 원소를 할당하는 것
(3) 각 n항 술어에 D의 원소들 사이의 n항 관계를 할당하는 것
(4) 각 문장문자에 진리치 T와 F 중 하나를 할당하는 것
*해석의 영역으로서 선택되는 영역이나 그 영역의 원소들 사이의 n항 관계는 일상의 자연스러운 집합이나 관계가 되지 않을 수 있다.

그러한 해석 하에서 원자식은 그 원자식 속의 개체상항들에 할당된 개체들이 그 원자식 속의 술어에 할당된 관계를 지니고 있다는 것을 진술하는 것으로 간주된다.

문장의 진리치는 한 해석에서 다른 해석으로 옮겨감에 따라 바뀔 수 있다.
그러나 한 해석에서 다른 해석으로 옮겨가도 그 진리치가 바뀌지 않는 문장들이 있다. ex. ‘(Ds V -Ds)’
모든 해석 하에서 참인 문장들은 L의 ‘타당한’ 문장이라 불린다.

참

L의 문장 φ가 해석 I에서 참이다. iff

(1) φ가 문장문자이면, φ가 I에서 참이다 iff I가 φ에 T를 할당한다.

(2) φ가 문장문자가 아닌 원자문장이면, φ가 I에서 참이다 iff I가 φ의 개체상항들에 할당한 대상들의 순서 n중체가 φ의 술어에 할당한 관계에 속한다.

(3) φ=¬ψ이면, φ가 I에서 참이다 iff ψ가 I에서 참이 아니다.

(4) ψ, χ가 문장이고 φ=(ψ∨χ)이면, φ가 I에서 참이다 iff ψ가 I에서 참이거나 χ가 I에서 참이거나 혹은 양쪽 다이다.

(5) ψ, χ가 문장이고 φ=(ψ&χ)이면, φ가 I에서 참이다 iff ψ가 I에서 참이고 χ가 I에서 참이다.

(6) ψ, χ가 문장이고 φ=(ψ→χ)이면, φ가 I에서 참이다 iff ψ가 I에서 참이 아니거나 χ가 I에서 참이거나 혹은 양쪽 다이다.

(7) ψ, χ가 문장이고 φ=(ψ⟷χ)이면, φ가 I에서 참이다 iff ψ와 χ가 I에서 둘 다 참이거나 둘 다 참이 아니다.

(8) φ=(α)ψ이면, φ가 I에서 참이다 iff ψα/β가 I의 모든 β-변형 하에서 참이다.

(9) φ=(∃α)ψ이면, φ가 I에서 참이다 iff ψα/β가 최소한 하나의 I의 β-변형 하에서 참이다.

(※ 해석 I가 해석 I의 β-변형이다 iff I와 I가 β에 무엇을 할당하는가 하는 점만 제외하고는 서로 정확히 동일하다. β는 ψ에 이미 나타나 있지 않은 첫 개체상항.)

타당성, 귀결, 일관성

L의 문장 φ가 타당하다(=논리적 참이다).
= φ가 모든 해석 하에서 참이다.

주어진 문장이 타당하지 않다는 것을 보이기 위해서는 비공집합 D를 주고, L의 비논리상항들에 φ가 거짓이 되게끔 적당항 존재자들을 할당하는 것으로 충분하다.

L의 문장 φ가 문장집합 Γ의 (논리적) 귀결이다.
= Γ의 문장들이 전제들이고 φ가 결론인 논변이 타당하다.
= Γ의 모든 문장들이 참인 모든 해석에서 φ도 참이다.
= Γ의 모든 문장들이 참이면서 φ가 거짓인 해석이 없다.

문장집합 Γ가 일관적이다(=만족 가능하다)
= Γ의 모든 문장들을 참이게 하는 해석이 존재한다.