L의 문법

언어 L의 표현들은 다음과 같이 분류되는 기호들의 배열이다.

1. 변항
‘u’에서 ‘z’까지의 소문자 이탤릭 글자

2. 상항

– 논리상항(여덟 가지)

– (부정)
⋁ (선언)
(
)
& (연언)
⟶ (조건문, 전건, 후건)
⟷ (쌍조건문)
∃ (존재양화)

– 비논리상항: 술어(대문자 이탤릭 글자), 개체상항(‘a’에서 ‘t’까지 소문자 이탤릭 글자)

n항 술어: 양의 정수 n을 나타내는 숫자를 윗첨자로 가진 술어
문장문자: 윗첨자가 없는 술어
개체기호: 변항 / 개체상항

원자식: 문장문자 하나로 이루어졌거나, n항 술어 뒤에 개체기호들의 배열이 붙어 이루어진 표현

식: 원자식이거나, 다음 규칙들을 유한 번 적용해 하나 혹은 그 이상의 원자식으로부터 만들어진 표현
(1) φ가 식이면 -φ도 식이다.
(2) φ와 ψ가 식이면, (φ⋁ψ), (φ&ψ), (φ⟶ψ), (φ⟷ψ)도 식이다.
(3) φ가 식이고 α가 변항이면 (α)φ와 (∃α)φ도 식이다.

변항의 나타남
변항 α가 (α)φ 혹은 (∃α)φ도 꼴의 식 φ 속에 나타날 경우 오직 그 경우에만 α는 속박되어 나타난다. 그 밖의 경우에는 자유롭게 나타난다.

문장은 어떠한 변항도 자유롭게 나타나지 않은 식이다.

설명들과 예들, 구문론적 용어법

L의 문장들은 자연언어의 문장들에 대응하도록 의도되었다(자명하므로 따로 대응되는 것들은 설명하지 않겠다).

*대응하는 것을 자연언어 표현의 축약 혹은 줄여 쓴 방식으로 여기지 말라. ‘&’를 ‘그리고’로 읽는 것이 어떤 종류의 동의성(synonymy)을 나타내는 것이라고 생각하면 심각한 혼란이 야기될 것이다. L의 중심적 개념들은 오직 그 모양에 의해서만 단순히 분별될 수 있는 방식으로 정의되어 있다.

변항

변항이 아닌 것들

개체상항

개체상항이 아닌 것들

술어

원자식

원자식이 아닌 것들

식이 아닌 것들

변항이 자유롭게 나타나는 예와 속박되어 나타나는 예

• 보편양화사: α가 변항일 때 (α)
• 존재양화사: α가 변항일 때 (∃α)

원자식이 아닌 식은, 보편양화사나 존재양화사로 시작하면 양화식이라 하고, 그렇지 않으면 분자식이라 한다.

문장은 개체기호를 하나도 가지고 있지 않으면 문장논리의 문장, 혹은 SC문장, 혹은 SC식이다.

식의 나타남
식 φ 속에서 식 ψ의 나타남은, ψ가 (α)θ나 (∃α)θ 꼴의 식 φ 안에 진부분으로서 속해 있으면, 속박되어 나타난 것이다. 그렇지 않으면 자유롭게 나타난 것이다.
*변항의 나타남과 혼동해서는 안 된다.

모든 식 φ, 변항 α, 그리고 개체기호 β에 대해, φα/β는 φ 속의 모든 자유변항 α를 β로 치환한 결과이다.

표기상의 관례들

식들을 쓰는 데 있어 ‘어떠한 혼동의 여지도 없을 때에는’ 가장 바깥쪽 괄호를 생략한다.

식들을 쓰는 데 있어 ‘어떠한 혼동의 여지도 없을 때에는’ 술어로부터 윗첨자 / 아랫첨자를 생략하고 쓰는 것이 편리하다.