사용과 언급

언어적 표현을 다른 어떤 것을 가리키기 위해 사용하는 것(using)과 그 언어적 표현을 언급하는 것(mentioning) 사이의 구분; 대상을 언급하기 위해 그 대상의 이름 혹은 기술구를 사용해야지 그 대상 자체를 사용해서는 안 된다.

이름을 지닌 대상이 감관들에 의해 지각되지 않는 추상적 존재자일 때 구별상의 어려움이 자주 발생함.
ex1. 감각적 경험에 의해 발견되지 않는 수(number)와 발견되는 숫자(numberal); 12와 7+5는 수는 같고 숫자가 다름
ex2. 언급되는 것 자체가 언어적 표현일 때 – ‘일리아드’는 짧은 제목이다.

뜻과 지시체

언어적 표현의 뜻(sense)은 그것의 의미(meaning)이다.
언어적 표현의 지시체는 그 표현이 지칭하는 대상 혹은 대상들이다.
ex. ‘샛별’과 ‘개밥바라기’는 같은 지시체(금성)를 지칭하지만 서로 다른 뜻을 가진다.
한 표현의 뜻이 주어지면 지시체는 단일하게 결정된다. 그러나 다른 뜻이 같은 지시체에 대응할 수 있다.

프레게의 뜻과 지시체 원리
1) 복합표현의 지시체는 그 표현의 부분들의 지시체들의 함수이다. 다시 말해서 복합표현의 한 부분이 그 부분과 같은 지시체를 갖는 다른 표현으로 대치될 경우 전체의 지시체는 바뀌지 않는다.
2) 마찬가지로, 복합표현의 뜻은 그 표현의 부분들의 뜻들의 함수이다. 그러므로 복합표현의 한 부분이 그 부분과 같은 뜻을 갖는 다른 표현으로 대치될 경우 전체의 뜻은 바뀌지 않는다.

귀결
-> 뜻은 지시체와 다르다.
ex. 조지 오웰은 소설 <1984년>의 저자이다. / 조지 오웰은 에릭 블레어이다.

‘소설 <1984년>의 저자’와 ‘에릭 블레어’는 같은 지시체를 가지지만 두 문장의 뜻은 분명히 다르다. -> 문장의 지시체는 그 문장의 진리치이다.

프레게의 지시체 원리에 의해 위 두 문장의 지시체는 같아야 한다. 이러한 조건을 만족하는 것은 문장의 진리치뿐이다.

‘~라는 것을 안다’, ‘~인지 궁금해 한다’, ‘~라고 믿는다’, ‘~라는 것이 가능하다’와 같은 어구들에 의해 지배되는 문맥을 ‘내포 문맥’이라 부른다.

내포 문맥 하에서는 프레게의 지시체 원리가 지켜지지 않는 것 같다.
ex. 오이디푸스는 자신이 이오카스테와 결혼했다고 믿었다. / 오이디푸스는 자신이 오이디푸스의 어머니와 결혼했다고 믿었다.

프레게는 주어진 표현이 맥락에 따라 다른 뜻을 가진다고 말하며 내포 문맥의 문제를 해결한다. 내포 문맥 하에서 언어 표현의 지시체는 그 표현이 일상적으로 갖고 있는 ‘뜻’이다. ‘오이디푸스의 어머니’의 지시체는 독립적으로 있을 때와 ‘오이디푸스는 자신이 오이디푸스의 어머니와 결혼했다고 믿었다’라는 문장에서 사용되었을 때 다르다는 것이다.

변항들

대입어: 변항에 의미 있게 대입될 수 있는 모든 언어적 표현들
값: 대입어들에 의해 지칭되는 모든 대상들
ex. 만약 x가 대통령으로 당선된다면, x는 4년 동안 재임한다.

인공언어를 기술하기 위해 변항들을 사용한다.
ex. 반드시 서로 다를 필요가 없는 어떠한 두 식에 대해서도 왼쪽 괄호를 쓰고 그 다음에 첫번째 식을 쓰고 그 다음에 기호 ‘V’를 쓰고 그 다음에 두 번째 식을 쓰고 그 다음에 오른쪽 괄호를 쓴 결과도 역시 식이다. -> 만일 φ와 ψ가 식이면, (φVψ)는 식이다.

(논리상항은 그 자신들의 이름으로 간주되는 것에 대한 설명은 자세히 하지 않음)

문장형식

‘~라는 것을 안다’, ‘~인지 궁금해 한다’, ‘~라고 믿는다’, ‘~라는 것이 가능하다’의 ‘~’ 위치에 들어가는 말들은 일반적으로 그러한 표현들의 지배 범위 바깥에 있을 때와 같은 논리법칙을 지키지 않는다.

‘그 범행을 저지른 남자는 총을 가지고 있었다.’에서 기술구 ‘그 범행을 저지른 남자’는 직접적으로 나타나지만 ‘그 범행을 저지른 남자가 총을 가지고 있었다는 것을 존스는 안다.’에서 기술구 ‘그 범행을 저지른 남자’는 직접적으로 나타나지 않는다.

문장형식: 문장이거나 문장으로부터 그 문장 속에 직접적으로 나타난 이름들 일부 혹은 모두를 변항들로 대치해서 얻어낼 수 있는 표현
ex. 스미스는 총을 가지고 있었다(O), x는 총을 가지고 있었다(O), x는 y이다(O), 그 범행을 저지른 남자가 총을 가지고 있었다는 것을 x는 안다(O), x는 y가 총을 가지고 있었다는 것을 안다(X)

‘x+6<8’이라는 문장형식에서 문장을 얻어내는 방법에는 두 가지가 있다.
• 수의 이름 혹은 기술구로 ‘x’를 대치하는 것 ex. 1+6<8
• 보편양화사 ‘모든 x에 대해’나 존재양화사 ‘-한 x가 있다’를 놓는 것

문장형식 속의 변항들의 나타남은 두 종류로 나뉜다.
• 문장을 얻기 위해 대입이나 양화를 필요로 하는 것 : 변항이 자유롭게 나타났다
• 그렇지 않은 것 : 변항이 속박되어 나타났다

ex. 문장 ‘모든 x, y에 대해, x+y=y+x이다.’에서 변항들의 모든 나타남은 속박되어 있다.
문장형식 ‘x<y인 x가 있다’에서 ‘x’의 두 나타남은 속박되어 있고 ‘y’의 유일한 나타남은 자유롭다.
문장형식 ‘x<6이고, 모든 x에 대해, x<y이다.’에서 ‘x’의 첫번째 나타남과 ‘y’의 유일한 나타남은 자유롭다. ‘x’의 나머지 두 나타남은 속박되어 있다.

* 자유롭게 나타나는 변항과 속박되어 나타나는 변항 사이의 구분 어려움.

단지 한 가지의 변항만이 주어진 문장형식에서 나타나고 그 자유변항에 어떤 대상을 할당한 결과라 참이라면 그 대상은 그 문장형식을 만족시킨다고 말해진다. (두 가지 변항 -> 순서쌍이 그 형식을 만족시킨다.)

기술구형식
기술구이거나 혹은 기술구로부터 그 기술구 속에 직접적으로 나타난 이름들 일부 혹은 모두를 변항들로 대치해서 얻어낼 수 있는 표현

기술구에 있어서도 그것의 구성요소인 이름들 혹은 기술구들의 직접적 나타남과 간접적 나타남을 구분하는 것이 중요하다. 구성요소가 직접적으로 나타날 경우에만 지시체 원리가 적용된다.
ex. x의 유일한 아들(O), x+y(O), x가 있었다고 증언한 증인(X)

집합

집합은 자유변항이 하나인 문장형식과 밀접한 관련을 가지고 있다. 아주 특수한 경우를 제외하고는, 자유변항이 하나인 각 문장형식에 대해 그 형식을 만족시키는 대상들을 원소들로 갖는 집합이 존재한다고 말할 수 있다.
ex. 문장형식 ‘x는 남자이다.’에 대응하여 남자들의 집합이 있다.

‘x는 x와 다르다.’를 만족시키는 모든 대상들을 원소로 갖는 집합 = 공집합 = ᐱ
‘x는 x와 같다.’를 만족시키는 모든 대상의 집합 = 전체집합 = ᐯ

일반적으로 표기 ‘{x}’는 기술구형식 ‘원소가 오직 x인 집합’을 나타낸다.
마찬가지로 표기 ‘{x, y}’는 기술구형식 ‘원소가 오직 x와 y인 집합’을 나타낸다.

부분집합, 합집합, 교집합, 여집합(A’) – 수학에서와 유사하므로 따로 서술하지 않음

집합에 대해 정식화된 규칙들 …

‘{x, y} = {y, x}’가 모든 대상 x, y에 대해 참인 데 반해, ‘

우리는 관계를 집합과 동일시한다.

이항 관계의 경우에 특별한 표기법이 이용된다. 우리는 ‘xRy’를 ‘

함수인 이항 관계가 특히 중요하다.
이항 관계 R은 모든 대상 ‘x, y, z에 대해 xRy이고 xRz이면, y=z’일 경우에 오직 그 경우에만 함수이다.

대상언어와 메타언어

우리는 한 언어에 관해서 다른 언어를 사용해 이야기할 때마다, 전자를 대상언어(object-language)라 하고 후자를 메타언어(meta-language)라고 부를 것이다.

ex. 영어로 쓰인 희랍어 문법책의 경우에 희랍어는 대상언어이고 영어는 메타언어이다.
다음 장부터는 인공언어가 대상언어이고 한국어가 메타언어일 것이다.
5장에서는 인공언어와 한국어가 둘 모두 대상언어들이면서, 한국어가 메타언어가 될 것이다.