다음 학기 들을 <언어철학> 수업을 위해 겨울방학 동안 1학년 2학기에 들었던 <기호논리학> 수업 내용을 복습하기로 했다. 당시 수업 교재였던 벤슨 메이츠의 <기호논리학>과 교수님께서 나눠 주셨던 핸드아웃을 토대로 내용을 정리해 나가고 있다. 각 장의 내용정리 – 연습문제 풀이의 순서로 글을 올리게 될 듯하다.

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논리학은 무엇에 관한 학문인가

논변 = 전제 + 결론; 서술문들의 한 체계

서술문들은 참이거나 거짓이다.
결론이 전제들의 귀결일 경우, 논변이 타당하다

의미의 애매성이나 모호성 때문에 그 타당성을 평가할 수 없는 논변도 많지만(의미의 명료화를 통해 해결), 전제들과 결론이 의미하는 바가 명료하게 이해되더라도 주어진 논변이 타당한가 대답하기 어려운 경우도 있다.
Ex. 별들의 개수는 짝수이고 4보다 크다; 그러므로, 별들의 개수는 두 소수의 합이다.

타당성과 참

타당성

1. 논변은 그것의 전제들이 참이면서 그것의 결론이 거짓인 것이 가능하지 않을 경우에 그리고 오직 그 경우에만 타당하다.

2. 논변은 그 논변의 전제들이 참인 상상가능한 모든 상황하에서 결론이 참일 경우에 그리고 오직 그 경우에만 타당하다.

‘가능한’ : 우리는 전제나 결론이 실제로 참인지를 문제삼지 않는다. 타당성을 위해 요구되는 것은 만일 전제들이 참이라면 결론이 참이어야 한다는 것뿐이다. 따라서 타당성은 어떠한 전제에 대해서도 그것이 실제적으로 참이라는 것을 보장하지는 않으며, 전제들 중의 하나 혹은 그 이상이 거짓인 경우에 결론의 진리치에 대해 어떠한 정보도 제공하지 않는다.

타당한 논변에서 일어날 수 없는 진리치의 유일한 조합은 전제들이 참이고 결론이 거짓인 경우뿐이다.

반면에 부당성은 진리치의 모든 조합에서 발생할 수 있다.
(전제들이 참이라고 가정했을 때 결론이 거짓일 수 있다면, 논변은 부당하다.)

타당성과 필연적 참

필연적 참 = 그것이 거짓인 상황을 상상할 수 없을 경우 by Leibniz
(우리 자신이 존재하는 현실세계는 무한히 많은 가능세계들 중의 하나일 뿐이다. 문장이 참이라고 말하는 것은 현실세계에서 참이라고 말하는 것이다. 그러나 어떤 참인 문장들은 현실세계에서뿐만 아니라 다른 모든 가능세계에서도 참이다. 이런 문장들이 필연적 참들이다. 현실세계에서는 참이지만 모든 가능세계에서 참인 것은 아닌 문장들은 ‘우연적 참들’이라 불린다.)

조건문 = 만약 (전건) 이면, (후건) 이다.

논변의 모든 전제들을 ‘그리고’로 연결해서 만든 문장을 전건으로 하고 결론을 후건으로 하는 그 논변에 상응하는 조건문(corresponding conditional)을 구성할 수 있다.

타당성과 필연성 사이의 관계

1. 논변은 그 논변에 상응하는 조건문이 필연적으로 참일 경우 오직 그 경우에만 타당하다.

2. 문장은 그 자신을 결론으로 갖는 부당한 논변이 존재하지 않을 경우에 그리고 오직 그 경우에만 필연적으로 참이다.

– 필연적으로 참인 문장은 모든 전제 집합의 귀결이며, 모든 전제 집합의 귀결인 어떠한 문장도 필연적으로 참이다. (각각 증명할 수 있음, p.28)

– ex. 잔디는 녹색이다; 소크라테스는 기원전 399년에 죽었거나 혹은 소크라테스는 기원전 399년에 죽지 않았다.

수학이나 논리학에서의 참은 필연적 참들의 적절한 본보기들이다.
– 과학법칙들은 우연적 참에 속하는 것으로 여겨진다. 비록 과학 법칙들이 상당한 일반성을 가지고 현실세계를 기술하지만 그것들이 성립하지 않는 많은 가능세계들이 있기 때문이다.

부가적인 논의

‘참’과 ‘참임이 알려진 것’ 사이의 구분
– 우리가 어떤 주어진 문장이 참인지 거짓인지 알지 못한다는 사실로부터 그 문장이 참도 거짓도 아니라는 것이 따라나오지는 않는다.

‘거짓’과 ‘기이함’의 구분
– 참은 ‘논리적 기이함’이라고 불리는 것과 양립할 수 없는 것이 아니다.

논리학은 다루는 대상으로서 문장을 선택한다.

‘여기’, ‘지금’, ‘이것’, ‘그’, ‘너’ 등의 ‘자기중심적’ 단어를 가지며 문장들의 진리가 그것들이 언명되는 때, 장소, 발언자에 의존하는 문장들을 피할 것이다.

논리적 형식

문장이 논리적 참이다 = 문장이 필연적 참이고, 문장과 같은 논리적 형식을 지닌 모든 문장이 필연적 참이다
Ex. S이거나 또는 S가 아니다. / 만약 S이고 T이면, T이다.

모든 필연적 참이 그것의 논리적 형식에 의해 필연적인 것은 아니다.
Ex. 모든 총각은 결혼하지 않았다.

논리적 형식의 중요성 => 우리는 주어진 문장의 논리적 형식이 무엇인지 결정할 수 있는 실제적 기준을 필요로 한다.

문장틀) 문장문자(문장), 집합문자(보편명사), 개체문자(개체), 논리어

문장이 논리적 참이다 = 문장의 모든 대입예가 필연적 참인 그러한 문장틀의 한 대입예일 경우

인공 언어

논리학의 법칙들을 논변에 엄밀하게 적용하기 위해서는 인공언어를 도입하는 것이 불가피하다.